Equação biquadrada é toda equação do tipo

a ∙ x\(^4\) + b ∙ x\(^2\) + c = 0, com a ≠ 0

Para resolver uma equação biquadrada, basta transformá-la em uma do 2º grau, utilizando o seguinte artifício: x² = t.

Substituindo x² = t em ax\(^4\) + bx² + c = 0, obtém-se:

at² + bt + c = 0

Após encontrar os valores de t, basta resolver x² = t.

Determine as raízes da equação biquadrada x\(^4\) – 13x² + 36 = 0.

Substituindo x\(^4\) por e por y, temos:

x\(^4\)13x² + 36 = 0

13y + 36 = 0

Resolvendo essa equação, obtemos como raízes:

y' = 4 e y" = 9

Como x² = y, temos:

  • x² = 4 x = ± \(\sqrt{4}\) = ± 2
  • x² = 9 x = ± \(\sqrt{9}\) = ± 3

Logo, temos o conjunto verdade: V = {–3, –2, 2, 3}.

Observação:

As equações

  • x\(^4\) – 2x³ + x² + 1 = 0,
  • 6x\(^4\) + 2x³ – 2x = 0 e
  • x\(^4\) – 3x = 0

não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares (4 e 2).

Determine, em \(\mathbb{R}\), o valor de x na equação x\(^4\) - 3x² - 4 = 0.

Solução

Chamando x² = y e substituindo na equação, tem-se:

x\(^4\) - 3x² - 4 = 0 y² - 3y - 4 = 0

y = \(\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}\) = \(\dfrac{3 \pm \sqrt{25}}{2}\) = \(\dfrac{3 \pm 5}{2}\)

y' = \(\dfrac{3 + 5}{2}\) = 8/2 = 4

y" = \(\dfrac{3 - 5}{2}\) = -2/2 = -1

Como x² = y, tem-se:

Para y = 4 → x² = 4 x = ±\(\sqrt{4}\) = ±2

Para y = -1 → x² = -1 x ∉ \(\mathbb{R}\)

Portanto, S = {-2, 2}

Determine, em \(\mathbb{R}\), o valor de x na equação x\(^4\) - 4x² = 0.

Solução

Chamando x² = y e substituindo na equação, tem-se:

x\(^4\) - 4x² = 0 y² - 4y = 0

y ∙ (y - 4) = 0 y = 0 ou y - 4 = 0

y = 0 ou y = 4

Como x² = y, tem-se:

Para y = 0 → x² = 0 x = 0

Para y = 4 → x² = 4 x = ±\(\sqrt{4}\) = ±2

Portanto, S = {-2, 0, 2}

Determine, em \(\mathbb{R}\), o valor de x na equação x² + \(\dfrac{1}{x^2}\) = 2.

Solução

O mmc é x²:

x² + \(\dfrac{1}{x^2}\) = 2

\(\dfrac{x^2 \cdot x^2 + 1 = x^2 \cdot 2}{x^2}\)

x\(^4\) + 1 = 2x\(^2\)

x\(^4\) - 2x\(^2\) + 1 = 0

Chamando x² = y e substituindo na equação, temos:

x\(^4\) - 2x² + 1 = 0

y² - 2y + 1 = 0

Resolvendo temos:

y = \(\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}\)

y = \(\dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}\)

y = \(\dfrac{2 \pm 0}{2}\) = 2/2 = 1

Como x² = y, temos:

Para y = 1 → x² = 1 x = ±\(\sqrt{1}\) = ±1

Portanto, S = {-1, 1}

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