Equação biquadrada é toda equação do tipo
a ∙ x\(^4\) + b ∙ x\(^2\) + c = 0, com a ≠ 0
Para resolver uma equação biquadrada, basta transformá-la em uma do 2º grau, utilizando o seguinte artifício: x² = t.
Substituindo x² = t em ax\(^4\) + bx² + c = 0, obtém-se:
at² + bt + c = 0
Após encontrar os valores de t, basta resolver x² = t.
Determine as raízes da equação biquadrada x\(^4\) – 13x² + 36 = 0.
Substituindo x\(^4\) por y² e x² por y, temos:
x\(^4\) – 13x² + 36 = 0
y² – 13y + 36 = 0
Resolvendo essa equação, obtemos como raízes:
y' = 4 e y" = 9
Como x² = y, temos:
Logo, temos o conjunto verdade: V = {–3, –2, 2, 3}.
Observação:
As equações
não são biquadradas, pois numa equação biquadrada a variável x só possui expoentes pares (4 e 2).
Determine, em \(\mathbb{R}\), o valor de x na equação x\(^4\) - 3x² - 4 = 0.
Solução
Chamando x² = y e substituindo na equação, tem-se:
x\(^4\) - 3x² - 4 = 0 ⇔ y² - 3y - 4 = 0
y = \(\dfrac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(-4)}}{2(1)}\) = \(\dfrac{3 \pm \sqrt{25}}{2}\) = \(\dfrac{3 \pm 5}{2}\)
y' = \(\dfrac{3 + 5}{2}\) = 8/2 = 4
y" = \(\dfrac{3 - 5}{2}\) = -2/2 = -1
Como x² = y, tem-se:
Para y = 4 → x² = 4 ⇔ x = ±\(\sqrt{4}\) = ±2
Para y = -1 → x² = -1 ⇔ x ∉ \(\mathbb{R}\)
Portanto, S = {-2, 2}
Determine, em \(\mathbb{R}\), o valor de x na equação x\(^4\) - 4x² = 0.
Solução
Chamando x² = y e substituindo na equação, tem-se:
x\(^4\) - 4x² = 0 ⇔ y² - 4y = 0
y ∙ (y - 4) = 0 ⇔ y = 0 ou y - 4 = 0
y = 0 ou y = 4
Como x² = y, tem-se:
Para y = 0 → x² = 0 ⇔ x = 0
Para y = 4 → x² = 4 ⇔ x = ±\(\sqrt{4}\) = ±2
Portanto, S = {-2, 0, 2}
Determine, em \(\mathbb{R}\), o valor de x na equação x² + \(\dfrac{1}{x^2}\) = 2.
Solução
O mmc é x²:
x² + \(\dfrac{1}{x^2}\) = 2
\(\dfrac{x^2 \cdot x^2 + 1 = x^2 \cdot 2}{x^2}\)
x\(^4\) + 1 = 2x\(^2\)
x\(^4\) - 2x\(^2\) + 1 = 0
Chamando x² = y e substituindo na equação, temos:
x\(^4\) - 2x² + 1 = 0
y² - 2y + 1 = 0
Resolvendo temos:
y = \(\dfrac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)}\)
y = \(\dfrac{2 \pm \sqrt{4 - 4}}{2}\)
y = \(\dfrac{2 \pm 0}{2}\) = 2/2 = 1
Como x² = y, temos:
Para y = 1 → x² = 1 ⇔ x = ±\(\sqrt{1}\) = ±1
Portanto, S = {-1, 1}
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